下記が、アカウント設定 > ログインとセキュリティ > Googleへのログイン > 2段階認証プロセスのオプションに追加されたってこと。これは一般 Googleアカウントだけでなく、Google Apps （無料版含む）にも実装されてます。
設定すれば、下記のように２段階認証の確認コードが必要な場面で、２段階認証の確認コードの代わりにスマホに上記メッセージがでて、「はい」をタップすることで完了します。メリットは確認コードをいれる手間が省けること。デメリットはデータ通信を行うため、ネット接続が必須であり比較的新しい Android や iOSが必要だということかなと思います。
なお２段階認証の確認については、１つの手段が使えない場合には他の手段に切り替えて確認が可能です。すべての手段を失ってしまうとアクセスできなくなりますので、Google認証システム アプリによる認証と、バックアップコード（ワンタイムパスワード）よる認証は合わせて設定しておくことが推奨です。
